Процедура легалізації перебування на території України

Шановні юристи заздалегідь дякую за відповідь. Ситуація наступна:
Сім'я в'їхала в Україну (серпень 2023 року)
Чоловік – громадянин Франції
Дружина та діти громадяни Болгарії
Дружина подалася (серпень або сент) у Києві на громадянство на підставі, що її
мама українка та донька в Україні народилася

Чоловік прострочив час перебування в Україні, і поки дружина не отримає громадянство і чекає на рішення він не поїде і не залишить їх.
Рішення щодо громадянства злегка затягнуте питанням (одному з дітей 14 років виповнилося і Україна просить довідку про несудимість з Болгарії (вони громадяни країни та ще Україна просить відмовитися від Болгарського громадянства).

Питання наступного характеру: - чи є процедура, за якої перебування чоловіка в Україні зробити більш легальним чи довідку, що він із сім'єю чекає на документ, щоб його не департували чи при виїзді не виникло проблем через прострочення? І як краще вчинити з громадянством Болгарії (відмовлятися чи краще на третє наприклад у Франції податись паралельно?)

Так само питання, що їм потрібно щоб виїхати в грудні за собакою (він ще громадянство не отримає щоб чоловікові зробити легальний в'їзд, а якщо вони виїдуть то потім він три місяці не зможе в'їхати) ось і незрозуміло як вчинити краще.